Question

函数y=

sinx-3

cosx+4

的最大值为

-12+2 6

15

．

Answer 1

分析：先将y=

sinx-3

cosx+4

化成sinx-ycosx=4y+3，再利用三角函数的和角公式化成：

1+y2

sin（x+θ）=4y-3，最后利用三角函数的有界性即可求得值域．

解答：解：∵y=

sinx-3

cosx+4

，∴sinx-3=ycosx+4y，∴sinx-ycosx=4y+3
即

1+y2

sin（x-θ）=4y-3，其中tanθ=y
∵-

1+y2

≤

1+y2

sin（x-θ）≤

1+y2

∴-

1+y2

≤4y+3≤

1+y2

解得

-12-2 6

15

≤y≤

-12+2 6

15

故函数y=

sinx-3

cosx+4

的最大值为：

-12+2 6

15

故答案为：

-12+2 6

15

点评：本题以三角函数为载体考查分式函数的值域，实质属于求三角函数的最值问题，属基本题．