Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²）a_n+sin²，n=1，2，3，…．
（1）求a₃，a₄并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=，S_n=b₁+b₂+…+b_n．证明：当n≥6时，|S_n-2|＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据a_n+2=（1+cos²）a_n+sin²，把a₁和a₂代入即可求得a₃，a₄，先看当n=2k-1（k∈N^*）时，整理得a_2k+1-a_2k-1=1进而可判断数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列；n=2k（k∈N^*）时，整理得a_2k+2=2a_2k进而可判断数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，最后综合可得答案．
（2）把（1）中求得a_n代入b_n中可知数列{b_n}是由等比和等差数列构成，因而可用错位相减法求和，得到数列的求和公式S_n=2-．．要证明当n≥6时，|S_n-2|＜成立，只需证明当n≥6时，＜1成立．用数学归纳法，先看当n=6时求得＜1，再假设当n=k（k≥6）时不等式成立，通过n=k+1时，等式亦成立，进而证明结论．
解答：解：（1）因为a₁=1，a₂=2，
所以a₃=（1+cos²）a₁+sin²=a₁+1=2，
a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1=[1+cos²]a_2k-1+sin²=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，
因此a_2k-1=k．
当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2=（1+cos²）a_2k+sin²=2a_2k．
所以数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，
因此a_2k=2^k．
故数列{a_n}的通项公式为
a_n=
（2）由（1）知，b_n==，
所以S_n=+++…+，①
S_n=+++…+，②
①-②得，S_n=+++…+-=-=1--，
所以S_n=2--=2-．
要证明当n≥6时，|S_n-2|＜成立，只需证明当n≥6时，＜1成立．
（1）当n=6时，==＜1成立．
（2）假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即＜1．
则当n=k+1时，
=×＜＜1．
由（1）、（2）所述，当n≥6时，＜1．
即当n≥6时，|S_n-2|＜．
点评：本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式常用来解决数列求通项公式等问题，有时要注意数列中的奇数项和偶数项的不同．