Question

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点A(0,-1),且右焦点到右准线的距离为.

(1)求椭圆的方程.

(2)试问是否能找到一条斜率为k(k≠0)的直线l,使l与椭圆交于不同两点M、N且满足|AM|=|AN|?若这样的直线存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)解:设椭圆方程为=1,由已知得b=1,=.

∴c=,a²=3.

∴椭圆方程为+y²=1.

(2)解法一:设M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),MN中点P(x₀,y₀).

∴两式相减,得

∴k=-.                                                                   ①

又∵|AM|=|AN|,

∴AP⊥MN.

∴k_AP=-,即=-.                                             ②

联立①②,解得

若直线l存在,则P在椭圆内部.

∴+y₀²＜1,从而得k²＜1.

∴-1＜k＜1且k≠0.

∴满足条件的直线l存在,且k∈(-1,0)∪(0,1).

解法二:设直线l的方程为y=kx+m,代入椭圆+y²=1且整理得(1+3k²)x²+6kmx+3(m²-1)=0.

要使l与椭圆相交于不同两点,

∴Δ＞0,即(6km)²-4(1+3k²)×3(m²-1)＞0.化简得3k²-m²+1＞0.                         (*)

又∵|AM|=|AN|,P为MN的中点,

∴MN⊥AP.

∴k·k_AP=-1.

而x₀==-,

y₀=,

∴k_AP=-.

∴2m=1+3k²,即m=.

代入不等式(*)可得k²＜1.

∴-1＜k＜1且k≠0.