Question

（1）若n（n∈N^*）个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005，求n的最小值，并说明理由；
（2）若n（n∈N^*）个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2002²⁰⁰⁵，求n的最小值，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由2005=1728+125+125+27=12³+5³+5³+3³，可得n=4时满足条件，进而分析出n=1，n=2，n=3均不存在满足条件的分解方法，可得答案；
（2）由2002²⁰⁰⁵≡4²⁰⁰⁵≡4^668×3+1≡（4³）⁶⁶⁸×4≡4（mod9），当x∈N^*时，x³≡0，±1（mod9），x134（mod9），x13+x234（mod9），x13+x23+x334（mod9），可得n=1，n=2，n=3均不存在满足条件的分解方法，而2002²⁰⁰⁵=2002²⁰⁰⁴×（10³+10³+1+1）=（2002⁶⁶⁸×10）³+（2002⁶⁶⁸×10）³+（2002⁶⁶⁸）³+（2002⁶⁶⁸）³．因此n=4为所求的最小值．

解答：解：（1）因为10³=1000，11³=1331，12³=1728，13³=2197，
12³＜2005＜13³，
故n≠1．
因为2005=1728+125+125+27=12³+5³+5³+3³，所以存在n=4，满足题意；                   
若n=2，由10³+10³＜2005，得较大正文体边长大于11且小于13，即为11或12
∵2005-11³=674，2005-12³=277，
而674 与277均不是完全立方数，
故n≠2
若n=3，设此三个正方体中最大一个的棱长为x，由8³+8³+8³＜2005，得较大正文体边长大于8且小于13，即为9或10或11或12
由于2005-2×9³=547，不是完全立方数
2005-9³-2×8³＞0，故x=9不满足要求；
同理可证x=10，x=11，x=12均不满足要求；
故n≠3
综上所述，n的最小值为4．
（2）设n个正方体的棱长分别是x₁，x₂，…，x_n
则x13+x23+…+xn3=2002²⁰⁰⁵…⑤
由2002≡4（mod9），4³≡1（mod9），
2002²⁰⁰⁵≡4²⁰⁰⁵≡4^668×3+1≡（4³）⁶⁶⁸×4≡4（mod9）…⑥
又当x∈N^*时，x³≡0，±1（mod9），
所以x134（mod9），x13+x234（mod9），x13+x23+x334（mod9），…⑦
由 ⑥、⑦可知，n≥4．
而2002=10³+10³+1+1，则
2002²⁰⁰⁵=2002²⁰⁰⁴×（10³+10³+1+1）
=（2002⁶⁶⁸×10）³+（2002⁶⁶⁸×10）³+（2002⁶⁶⁸）³+（2002⁶⁶⁸）³．
因此n=4为所求的最小值．

点评：本题考查的知识点是逻辑推理，本题难度较大，运算强度和思路都不易得到，属于难题．