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    已知数列{bn}满足b1=
    1
    2
    ，且bn+1=
    1
    2
    bn
    （1）求数列{bn}的通项公式；
    （2）设an=nbn，求证：a1+a2+a3+…+an＜2．
    分析：（1）利用等比数列的概念可知{bn}是首项为
    1
    2
    ，公比为
    1
    2
    的等比数列，从而可求数列{bn}的通项公式；
    （2）由于an=nbn=n•(
    1
    2
    )    n    ，从而可知Sn=
    1
    2
    +2×(
    1
    2
    )    2    +3×(
    1
    2
    )    3    +…+n×(
    1
    2
    )    n    ，利用错位相减法可求得Sn=2-(
    1
    2
    )    n-1    -n(
    1
    2
    )    n    ，从而可证得结论．
    解答：解　（1）∵b1=
    1
    2
    ，且
    bn+1
    bn
    =
    1
    2
    ，
    ∴{bn}是首项为
    1
    2
    ，公比为
    1
    2
    的等比数列，
    ∴bn=(
    1
    2
    )    n    ．
    （2）证明：记Sn=a1+a2+a3+…+an，
    ∵an=nbn=n•(
    1
    2
    )    n    ，
    ∴Sn=
    1
    2
    +2×(
    1
    2
    )    2    +3×(
    1
    2
    )    3    +…+n×(
    1
    2
    )    n    ，
    1
    2
    Sn=(
    1
    2
    )    2    +2×(
    1
    2
    )    3    +3×(
    1
    2
    )    4    +…+（n-1）×(
    1
    2
    )    n    +n×(
    1
    2
    )    n+1    ，
    两式相减得
    1
    2
    Sn=
    1
    2
    +(
    1
    2
    )    2    +…+(
    1
    2
    )    n    -n×(
    1
    2
    )    n+1
    =
    1
    2
    [1-(
    1
    2
    )    n    ]
    1-
    1
    2
    -n×(
    1
    2
    )    n+1
    =1-(
    1
    2
    )    n    -n×(
    1
    2
    )    n+1    ，
    整理得Sn=2-(
    1
    2
    )    n-1    -n×(
    1
    2
    )    n    ＜2．
    点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式及错位相减法求和，属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}是由正数组成的等比数列，a3=8，前3项的和S3=14
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）已知数列{bn}满足
    b1
    a1
    +
    b2
    a2
    +…+
    bn
    an
    =
    n
    2n
    （n∈N*），证明：{bn}是等差数列．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{bn}满足b1=1，b2=5，bn+1=5bn-6bn-1（n≥2），若数列{an}满足a1=1，an=bn(
    1
    b1
    +
    1
    b2
    +…+
    1
    bn-1
    )(n≥2，n∈N*)
    （1）求证：数列{bn+1-2bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
    （2）求证：(1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )…(1+
    1
    an
    )＜3    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在数列{}an中，如果存在常数T（T∈N*），使得an+T=an对于任意正整数n均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an]的周期．已知数列{bn}满足bn+2=|bn+1-bn|，若b1=1，b2=a，（a≤1，a≠0）当数列{bn}的周期为3时，则数列{bn}的前2010项的和S2010等于（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    x
    1+x
    ．设数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N+）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）已知数列{bn}满足b1=
    1
    2
    ，bn+1=(1+bn)2f(bn)(n∈N+)，求证：对一切正整数n≥1都有
    1
    a1+b1
    +
    1
    2a2+b2
    +…+
    1
    nan+bn
    ＜2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    x
    1-x
    (0＜x＜1)    的反函数为f-1（x）．设数列{an}满足a1=1，an+1=f-1（an）（n∈N*）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）已知数列{bn}满足b1=
    1
    2
    ，bn+1=(1+bn)2•f-1(bn)    ，求证：对一切正整数n≥1都有
    1
    a1+b1
    +
    1
    2a2+b2
    +    …+
    1
    nan+bn
    ＜2    ．

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