Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y）（x，y∈R），且当x＞0时，f（x）＞1；f（2）=4．
（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；　　
（Ⅱ）证明：f（x）是单调递增函数；
（III） 若对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y）（x，y∈R），
且当x＞0时，f（x）＞1，f（2）=4，
∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=4，
∴f（1）=2，或f（1）=-2（舍）．
故f（1）=2．
∵f（1）=f（（-1）+2）=f（-1）•f（2），
∴f（-1）===．
（Ⅱ）证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]
∵x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞1
∴f（x₂-x₁）-1＞0，
∵f（x₁）=f（）=[f（）]²＞0，
∴f（x₁）f[（x₂-x₁）-1]＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在R上是增函数．
（III）解：∵，
∴f（x²-ax+a）•f（x²-ax+a）=f（2x²-2ax+2a）≥2=f（1），
∵f（x）在R上是增函数，
∴2x²-2ax+2a≥1，
∴由对任意x∈（1，+∞）恒成立，
得2x²-2ax+2a≥1对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∵y=2x²-2ax+2a-1的对称轴是x=，
∴在[，+∞）上y=2x²-2ax+2a-1是单调递增函数．
∵2x²-2ax+2a≥1对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∴≤1，故a≤2．
∴实数a的取值范围（-∞，2]．
分析：（Ⅰ）由题设条件知f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=4，f（1）=f（（-1）+2）=f（-1）•f（2），由此能求出f（1）和f（-1）．
（Ⅱ）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]，由x₂-x₁＞0，知f（x₂-x₁）-1＞0，再由f（x₁）=f（）=[f（）]²＞0，能够证明f（x）在R上是增函数．
（III）由，知f（x²-ax+a）•f（x²-ax+a）=f（2x²-2ax+2a）≥2=f（1），再由f（x）在R上是增函数，能够求出实数a的取值范围．
点评：本题考查抽象函数的应用，考查函数的单调性的判断与证明，突出考查等价转化思想的运用，考查基本不等式，综合性强，难度大，属于难题．