Question

（2012•黑龙江）设函数f（x）=e^x-ax-2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k） f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；
（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x-k） f?（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜

x+1

ex-1

+x（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=

x+1

ex-1

+x在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；

解答：解：（I）函数f（x）=e^x-ax-2的定义域是R，f′（x）=e^x-a，
若a≤0，则f′（x）=e^x-a≥0，所以函数f（x）=e^x-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增．
若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=e^x-a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e^x-a＞0；所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
（II）由于a=1，所以，（x-k） f?（x）+x+1=（x-k） （e^x-1）+x+1
故当x＞0时，（x-k） f?（x）+x+1＞0等价于k＜

x+1

ex-1

+x（x＞0）①
令g（x）=

x+1

ex-1

+x，则g′（x）=

-xex-1

(ex-1)2

+1=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

由（I）知，函数h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）
当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得e^α=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）
由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2

点评：本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．