Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2．

（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小．

Answer 1

解：解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是

等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB．又因为

PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE．而AB=A,因此BE⊥平面PAB．

又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF．过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE．

在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP．

在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG．

则AG⊥PF．连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG．

所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）．

在等腰Rt△PAF中，

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

解法二  如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），E(1,,0)

（Ⅰ）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线．从而BE⊥平面PAB．又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）易知  

   设是平面PBE的一个法向量，则由

得所以

   设是平面PAD的一个法向量，则由

得所以故可取

   于是，

   故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是