Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=n2+n，数列{b_n}有b₁=2，

bn+1

bn

=2（n≥1）
（1）求{a_n}，{b_n}的通项；
（2）若c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的通项公式及前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由题意可得n=1时，a₁=2；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，进而可得a_n=2n，而数列数列{b_n}为首项为2，公比为2的等比数列，易得通项；（2）可得c_n=n•2ⁿ⁺¹，由错位相减法可求和．

解答：解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n，
∴n=1时，a₁=2；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，
∴a_n=2n（n∈N），
由题意可得数列{b_n}为首项为2，公比为2的等比数列，
故b_n=2•2^n-1=2ⁿ
（2）由（1）可知c_n=a_nb_n=2n•2ⁿ=n•2ⁿ⁺¹，
故T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，①
则2T_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁵+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，②
①-②可得：-T_n=1•2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=

22(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²=-（n-1）•2ⁿ⁺²-4，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4，

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式的求解，以及错位相减法求和，属基础题．