Question

如果实数x，y满足，求：

(1)的最大值；(2)y－x的最小值．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)设，得y=kx，所以k为过原点的直线的斜率． 又表示以(2，0)为圆心，半径为的圆，如图所示． 当直线y=kx与已知圆相切且切点在第一象限时，k最大， 此时，，|OC|=2． ∴Rt△POC中，∠POC=60°，． ∴的最大值为． (2)设y－x=b，即为直线y=x＋b，b为直线在y轴上的截距，如图所示． 当直线y=x＋b与圆有公共点时，当且仅当直线与圆相切，且切点在第四象限时b最小．此时，圆心(2，0)到直线的距离为，即． 解得或(舍)． ∴y－x最小值为．

提示：

分析：表示以(2，0)为圆心，半径为的圆，为点P(x，y)与原点连线的斜率，设y－x=b，则y=x＋b，可知b是斜率为1的直线在y轴上的截距．于是，问题(1)实质是求圆上的点与原点的连线的斜率的最大值，问题(2)实质上是求斜率为1的直线与已知圆有公共点时直线的纵截距的最小值．