Question

在数列{a_n} 中，a₁=1，a_n+1=1-，b_n=，其中n∈N⁺，
（Ⅰ）求证：数列{b_n} 是等差数列，并求数列{a_n} 的通项公式a_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n，数列{C_nC_n+1} 的前n项和为T_n，是否存在正整整m，使得Tn＜对于n∈N⁺恒成立，若存在，求出m的最大值，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵a₁=1，a_n+1=1-，b_n=，
∴b_n+1-b_n===-=2（n∈N^*）
∴数列{b_n}是等差数列，
∵a₁=1，∴b₁==2，
∴b_n=2+（n-1）×2=2n，
由b_n=，得2a_n-1==，（n∈N^*）
∴a_n=．
（2）∵c_n=a_n==，
∴C_nC_n+1==，
∴T=c₁c₂+c₂c₃+…+c_nc_n+1
=（1-）+（）+（）+…+（）
=1-＜1，
∵T_n=1-＜对于n∈N⁺恒成立，
∴，∴m≤2，
所以m的最大值为2．
分析：（1）要证数列{b_n}是等差数列，只需证明b_n+1-b_n=2；
（2）由a_n=，可得c_n=a_n==，从而利用裂项法求前n项和为T_n，进而利用最值思想解决恒成立问题．
点评：本题主要考查等差数列的定义及通项公式的求解，考查裂项法求和及恒成立问题的处理 方法，综合性强，难度大．