Question

3．设a为实数，函数f（x）=x³-2x²+x+a．
（1）求f（x）的极值．
（2）当a在什么范围取值时，函数y=f（x）有一个零点．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到极值点，通过判断函数的单调性求解函数的极值即可．
（2）利用函数的单调性以及函数的极值的符号，列出不等式求解即可．

解答 解：（1）f'（x）=3x²-4x+1=（3x-1）•（x-1）…（2分）
令f'（x）=0得$x=\frac{1}{3}或x=1$…（1分）

x	$（-∞，\frac{1}{3}）$	$\frac{1}{3}$	$（\frac{1}{3}，1）$	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

…（3分）
∴f（x）的极大值为$f（\frac{1}{3}）=\frac{4}{27}+a$；极小值为f（1）=a…（2分）
（2）由（1）知 函数f（x）在$（-∞，\frac{1}{3}）$递增，在$（\frac{1}{3}，1）$递减，
在（1，+∞）递增．…（1分）
∵函数f（x）有一个零点，∴$f（\frac{1}{3}）＜0或f（1）＞0$，∴$a＜-\frac{4}{27}或a＞0$…（2分）
∴a的取值范围为$（-∞，-\frac{4}{27}）$或（0，+∞）…（1分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．