Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0.

(1)若此方程表示圆,求m的取值范围;

(2)若(1)中圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值（其中O为坐标原点）；

(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.

Answer 1

解：(1)由Δ=20-4m＞0,得m＜5.

(2)将x=-2y+4代入x²+y²-2x-4y+m=0,得5y²-16y+8+m=0.

由Δ=16²-20(8+m)＞0,得m＜.

设M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),

由OM⊥ON有k_OM·k_ON=-1.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

又x₁=-2y₁+4,x₂=-2y₂+4,

∴5y₁y₂-8(y₁+y₂)+16=0.

将y₁+y₂=,y₁y₂=代入解得m=.

(3)当m=时,因圆心H(a,b)是MN的中点,

故b==,a=-2b+4=.

半径R=|MN|=|y₁-y₂|=.

∴以MN为直径的圆的方程为(x-)²+(y-)²=.