Question

已知函数f（x）=2-sin（2x+

π

6

）-2sin²x，x∈[0，

π

2

]
（1）求函数f（x）的值域；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（

B

2

）=1，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出这个角的范围，利用余弦函数的值域即可确定出f（x）的值域；
（2）根据f（

B

2

）=1，以及f（x）解析式求出B的度数，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，进而确定出C的度数，根据三角形的形状即可确定出a的值．

解答：解：（1）f（x）=2-（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）-1+cos2x=1+cos2x-

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1=cos（2x+

π

3

）+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴cos（2x+

π

3

）∈[-1，

1

2

]，
则函数f（x）的值域是[0，

3

2

]；
（2）由f（

B

2

）=1得cos（B+

π

3

）+1=1，即cos（B+

π

3

）=0，
∵B为三角形内角，即0＜B＜π，
∴

π

3

＜B+

π

3

＜

4π

3

，
∴B+

π

3

=

π

2

，即B=

π

6

，
∵b=1，c=

3

，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：sinC=

csinB

b

=

3

2

，
∴C=

π

3

或

2π

3

，
当C=

π

3

时，A=

π

2

，从而利用勾股定理得a=

b2+c2

=2；
当C=

2π

3

时，A=

π

6

，由B=

π

6

，得到a=b=1，
则a的值为2或1．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．