Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，O是AC与BD的交点，E为BB₁的中点，
(1)求证：直线B₁D∥平面AEC；
(2)求证：B₁D⊥平面D1AC；
(3)求三棱锥D-D₁OC的体积。

Answer 1

(1)证明：连接OE，在△B₁BD中，
∵E为BB₁的中点，O为BD的中点，
∴OE∥B₁D，
又∵B₁D平面AEC，
∴直线B₁D∥平面AEC。
(2)证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵B₁B⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴B₁B⊥AC，
∵BD⊥AC，且BB₁∩BD=B，
∴B₁D⊥AC，同理可证B₁D⊥AD₁，
∵AC∩AD₁=A，
∴B₁D⊥平面D₁AC。
(3)解：。