Question

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}（1=a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得a_k=a_i+a_j成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）求证：a_n≤2a₁+a₂+…+a_n-1（n≥2）；
（Ⅲ）若a_n=72，求数集A中所有元素的和的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用性质P的概念，对数集{1，3，4}与{1，2，3，6}判断即可；
（Ⅱ）利用集合A={a₁，a₂，…，a_n}具有性质P，可分析得到a_i≤a_k-1，a_j≤a_k-1，从而a_k=a_i+a_j≤2a_k-1，（k=2，3，…n），将上述不等式相加得a₂+…+a_n-1+a_n≤2（a₁+a₂+…+a_n-1）
即可证得结论；
（Ⅲ）首先注意到a₁=1，根据性质P，得到a₂=2a₁=2，构造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，这两个集合具有性质P，此时元素和为147．
再利用反证法证明满足S=a_i≤147最小的情况不存在，从而可得最小值为147．
解答：解：（Ⅰ）因为 3≠1+1，所以{1，3，4}不具有性质P．
因为 2=1×2，3=1+2，6=3+3，所以{1，2，3，6}具有性质P    …（4分）
（Ⅱ）因为集合A={a₁，a₂，…，a_n}具有性质P：
即对任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得a_k=a_i+a_j成立，
又因为1=a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2，所以a_i＜a_k，a_j＜a_k
所以a_i≤a_k-1，a_j≤a_k-1，所以a_k=a_i+a_j≤2a_k-1
即a_n-1≤2a_n-2，a_n-2≤2a_n-3，…，a₃≤2a₂，a₂≤2a₁…（6分）
将上述不等式相加得a₂+…+a_n-1+a_n≤2（a₁+a₂+…+a_n-1）
所以a_n≤2a₁+a₂+…+a_n-1…（9分）
（Ⅲ）最小值为147．
首先注意到a₁=1，根据性质P，得到a₂=2a₁=2
所以易知数集A的元素都是整数．
构造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，这两个集合具有性质P，此时元素和为147．
下面，我们证明147是最小的和
假设数集A={a₁，a₂，…，a_n}（a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2），满足最小（存在性显然，因为满足的数集A只有有限个）．
第一步：首先说明集合A={a₁，a₂，…，a_n}（a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）中至少有8个元素：
由（Ⅱ）可知a₂≤2a₁，a₃≤2a₂…
又a₁=1，所以a₂≤2，a₃≤4，a₄≤8，a₅≤16，a₆≤32，a₇≤64＜72，
所以n≥8
第二步：证明a_n-1=36，a_n-2=18，a_n-3=9：
若36∈A，设a_t=36，因为a_n=72=36+36，为了使得最小，在集合A
中一定不含有元素a_k，使得36＜a_k＜72，从而a_n-1=36；
假设36∉A，根据性质P，对a_n=72，有a_i，a_j，使得a_n=72=a_i+a_j
显然a_i≠a_j，所以a_n+a_i+a_j=144
而此时集合A中至少还有5个不同于a_n，a_i，a_j的元素，
从而S＞（a_n+a_i+a_j）+5a₁=149，矛盾，
所以36∈A，进而a_t=36，且a_n-1=36；
同理可证：a_n-2=18，a_n-3=9
（同理可以证明：若18∈A，则a_n-2=18）．
假设18∉A．
因为a_n-1=36，根据性质P，有a_i，a_j，使得a_n-1=36=a_i+a_j
显然a_i≠a_j，所以a_n+a_n-1+a_i+a_j=144，
而此时集合A中至少还有4个不同于a_n，a_n-1，a_i，a_j的元素
从而S＞a_n+a_n-1+a_i+a_j+4a₁=148，矛盾，
所以18∈A，且a_n-2=18
同理可以证明：若9∈A，则a_n-3=9
假设9∉A
因为a_n-2=18，根据性质P，有a_i，a_j，使得a_n-2=18=a_i+a_j
显然a_i≠a_j，所以a_n+a_n-1+a_n-2+a_i+a_j=144
而此时集合A中至少还有3个不同于a_n，a_n-1，a_n-2，a_i，a_j的元素
从而S＞a_n+a_n-1+a_n-2+a_i+a_j+3a₁=147，矛盾，
所以9∈A，且a_n-3=9）
至此，我们得到了a_n-1=36，a_n-2=18，a_n-3=9a_i=7，a_j=2．
根据性质P，有a_i，a_j，使得9=a_i+a_j
我们需要考虑如下几种情形：
①a_i=8，a_j=1，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素a_k，才能得到元素8，
则S＞148；
②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素a_k，才能得到元素7，
则S＞148；
③a_i=6，a_j=3，此时集合A={1，2，3，6，9，18，36，72}的和最小，为147；
④a_i=5，a_j=4，此时集合A={1，2，4，5，9，18，36，72}的和最小，为147．…（14分）
点评：本题考查数列的求和，突出考查反证法的应用，考查分类讨论思想与转化思想，考查构造函数的思想，a_n-1=36，a_n-2=18的证明是难点，属于难题．