Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²．数列{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₄=8．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，数列{c_n}中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时，a₁=S₁=1亦满足上式，
故a_n=2n-1，（n∈N*）．
又数列{b_n}为等比数列，设公比为q，
∵b₁=1，b₄=b₁q³=8，∴q=2．
∴b_n=2^n-1（n∈N*）．
（2）．
T_n=c₁+c₂+c₃+…c_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）=（2¹+2²+…2ⁿ）-n=．
所以 T_n=2ⁿ⁺¹-2-n．
（3）假设数列{c_n}中存在三项c_m，c_k，c_l成等差数列，不妨设m＜k＜l（m，k，l∈N*）
因为 c_n=2ⁿ-1，
所以 c_m＜c_k＜c_l，且三者成等差数列．
所以 2c_k=c_l+c_m，
即2（2^k-1）=（2^m-1）+（2^l-1），
变形可得：2•2^k=2^m+2^l=2^m（1+2^l-m）
所以 ，即2^k+1-m=1+2^l-m．
所以 2^k+1-m-2^l-m=1．
因为m＜k＜l（m，k，l∈N*），
所以 2^k+1-m，2^l-m均为偶数，而1为奇数，
所以等式不成立．
所以数列{c_n}中不存在三项，使得这三项成等差数列．
分析：（1）对于数列{a_n}，已知S_n=n²，利用递推公式可求当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，当n=1时，a₁=S₁=1可求a_n，对于数列{b_n}，是等比数列，设公比为q，及b₁=1，b₄=b₁q³=8，可求q，进而可求b_n
（2）由题意可得，=2ⁿ-1，结合数列的特点可考虑利用分组求和，结合等差数列及等比数列的求和公式可求；
（3）假设数列{c_n}中存在三项c_m，c_k，c_l成等差数列，则2c_k=c_l+c_m，由（2）可得2（2^k-1）=（2^m-1）+（2^l-1），变形可得2•2^k=2^m+2^l=2^m（1+2^l-m），进而可变形为2^k+1-m-2^l-m=1，由整数的性质可得矛盾，即可以得打结论．
点评：本题综合考查等比数列、与等差数列，涉及数列的等差、等比的性质、等差数列的判定以及数列的求和，需要全面掌握数列的有关性质．