Question

在一很直的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15°，速度为2.5 km/h，同时岸上一人，从同一地点开始追小船，已知他在岸上跑的速度为4 km/h，在水中游的速度为2 km/h,_____________.

（先在横线上填上一个结论，然后再解答）

Answer 1

构建问题：在一很直的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15°，速度为2.5 km/h，同时岸上一人，从同一起点开始追小船，已知他在岸上跑的速度为4 km/h，在水中游的速度为2 km/h，问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？

解析：如果我们简单画出此追及情况的示意图（如图），设船速度为v,人追上船所用的时间为t，人在岸上跑的时间为人要追上船时间的k倍，则人船运动路线满足下图所示的三角形.

∵|OA|=4kt,|AB|=2(1-k)t,|OB|=vt,在△OAB中，由余弦定理，得|AB|²=|OA|²+|OB|²- 2|OA|·|OB|·cos15°,即4(1-k)²t²=(4kt)²+(vt)²-2.4ktv·tcos15°，整理得12k²-［2+v-8］k+v²-4=0.                                                                     ①

    要使①式在0＜k＜1范围内有实数解，当0≤v≤2时，这人不必在岸上跑，应立即从同一地直接下水就可以追上小船；当v≥4时，人不可能追上船的情况，这里考虑2＜v＜4.则有

解之，得2＜v≤2，即v_max=2 km/h.

当船速在（2,2）内时，人船运动的路线可以构成三角形，即人能追上小船的最大速度为2 km/h,由此可见当船的速度为2.5 km/h时，人可以追上小船.