Question

设f(x)、g(x)是定义在［0,1］上的函数，求证:存在x₀、y₀∈［0,1］，使|x₀y₀-f(x₀)-g(y₀)|≥.

Answer 1

证明:用反证法.假设对［0,1］内的任意实数x,y均有|xy-f(x)-g(y)|＜，考虑对x,y在［0,1］内取特殊值:

(1)取x=0,y=0时，有|0×0-f(0)-g(0)|＜,∴|f(0)+g(0)|＜;

(2)取x=1,y=0时，有|1×0-f(1)-g(0)|＜,∴|f(1)+g(0)|＜;

(3)取x=0,y=1时，有|0×1-f(0)-g(1)|＜,∴|f(0)+g(1)|＜;

(4)取x=1,y=1时，有|1×1-f(1)-g(1)|＜,∴|1-f(1)-g(1)|＜.

∵1=1-f(1)-g(1)+f(0)+g(1)+f(1)+g(0)-f(0)-g(0),

∴1≤|1-f(1)-g(1)|+|f(0)+g(1)|+|f(1)+g(0)|+|f(0)+g(0)|＜+++=1.

∴1＜1，矛盾，说明假设不能成立.故要证结论成立.