Question

定义在(－1，1)上的函数f(x)满足：对任意x，y∈(－1，1)，都有f(x)＋f(y)＝f()．

(1)求证：函数f(x)是奇函数；

(2)若当x∈(－1，0)时，有f(x)＞0，求证：f(x)在(－1，1)上是减函数．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)函数f(x)的定义域是(－1，1)， 　　由f(x)＋f(y)＝f()，令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f()，∴f(0)＝0． 　　令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f()＝f(0)＝0． 　　∴f(－x)＝－f(x)． 　　∴f(x)为奇函数． 　　(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减．令0＜x1＜x2＜1，则 　　f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f()＝f()． 　　∵0＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，1－x1x2＞0． 　　∴＞0． 　　又(x2－x1)－(1－x1x2)＝(x2－1)(x1＋1)＜0， 　　∴0＜x2－x1＜1－x1x2． 　　∴－1＜＜0．由题意知f()＞0， 　　∴f(x1)＞f(x2)． 　　∴f(x)在(0，1)上为减函数． 　　又f(x)为奇函数， 　　∴f(x)在(－1，1)上也是减函数．

提示：

思路分析：(1)定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x＝－y是解题关键；(2)定义法证明，其中判定的范围是关键． 　　绿色通道：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性．