Question

如 图在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=PB，∠ABC=60° ，点D、E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，

（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？说明理由。

Answer 1

（1）证明：∵
∴PA⊥BC，
又∠PCA=90°，
∴AC⊥BC，
∴。
（2）解：∵当D为PB的中点，且DE∥BC，
∴DE=BC，
由（1）知，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵，
∴PA⊥AB，
又PA=AB，∴△PAB为等腰直角三角形，
∴AD=AB，
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=AB，
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=。
（3）∵，又由（1）知，，
∴DE⊥平面PAC，
又平面PAC，平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，
∵，
∴PA⊥AC，即∠PAC=90°，
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时∠AEP=90°，
故存在点E，使得二面角A-DE-P为直二面角。