Question

设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax在x=0处取得极值．
（1）求a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）证明对任意的正整数n，不等式nlnn≥（n-1）ln（n+1）．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，知f'（x）=ln（x+1）+1-a，由f（x）在x=0处取得极值，知f'（0）=0，由此能求出a的值及函数f（x）的单调区间．
（2）当n=1时，左边=0，右边=0，0≥0成立；当n=2时，左边=2ln2=ln4，右边=ln3，ln4≥ln3成立；当n≥3时，原不等式等价于

lnn

n-1

≥

ln(n+1)

n

，由此能够证明对任意的正整数n，不等式nlnn≥（n-1）ln（n+1）都成立．

解答：（1）解：∵f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
∴f'（x）=ln（x+1）+1-a，
∵f（x）在x=0处取得极值，
∴f'（0）=0，∴a=1，
故f'（x）=ln（x+1），
当x+1＞1，即x＞0时，f'（x）＞0，
当0＜x+1＜1，即-1＜x＜0时，f'（x）＜0，
∴f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-1，0）．
（2）证明：当n=1时，左边=0，右边=0，0≥0成立；
当n=2时，左边=2ln2=ln4，右边=ln3，ln4≥ln3成立；
当n≥3时，原不等式等价于

lnn

n-1

≥

ln(n+1)

n

，
令g（x）=

lnx

x-1

，（x≥3），
则g（x）=

x-1 x -lnx

(x-1)2

，
当x≥3时，

x-1

x

＜1，lnx＞1，
∴

x-1

x

-lnx＜0，
从而g（x）＜0，∴g（x）递减，
所以，当n-1＞n≥3时，
有g（n-1）＜g（n），
即

ln(n+1)

n

＜

lnn

n-1

，
综上所述：对任意的正整数n，不等式nlnn≥（n-1）ln（n+1）都成立．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式恒成立的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．