Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n=

n2

n2-1

an-1+

n2

n+1

（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和Sn，满足：Sn=

2

3

(bn-1)．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（II）设cn=

2

n

an，①求数列{b_nc_n}前n项的和Tn，②求数列

1

coscncoscn+1

前n项的和A_n．

Answer 1

分析：（I）把式子变形，构造数列{dn}由累加法可得a_n，由数列的通项和前n想和的关系可得b_n；
（II）①由数列{b_nc_n}的特点，用错位相减法可求和，②式子

1

coscncoscn+1

可化为

1

sin1

[tan(n+1)-tann]，下面用裂项相消法可得答案．

解答：解：（I）因为a_n=

n2

n2-1

an-1+

n2

n+1

（n≥2，n∈N^*），
所以

n+1

n

an-

n

n-1

an-1=n，设dn=

n+1

n

an，
则d_n-d_n-1=n（n≥2，n∈N^*），d₁=1，
由累加法可得：dn=

n(n+1)

2

，故an=

1

2

n2
∵Sn=

2

3

(bn-1)   ①，∴Sn+1=

2

3

(bn+1-1)   ②
②-①得Sn+1-Sn=

2

3

(bn+1-bn)=b_n+1，∴b_n+1=-2b_n
把n=1代入①式可得b₁=-2，
∴bn=(-2)n
（II）由（I）可知cn=

2

n

an=

2

n

1

2

n2=n
①b_nc_n=n•（-2）ⁿ
∴Tn=1•(-2)+2•(-2)2+3•(-2)3+…+n•（-2）ⁿ
-2Tn=1•(-2)2+2•(-2)3+3•(-2)4+…+n•（-2）ⁿ⁺¹
两式相减得：3Tn=1•(-2)+(-2)2+(-3)3+…+（-2）ⁿ-n•（-2）ⁿ⁺¹
=

-2[1-(-2)N]

1-(-2)

-n•(-2)n+1=-

2

3

[1-(-2)n]-n•(-2)n+1
故所求数列的前n项和为：Tn=-

2

9

-

3n+1

9

(-2)n+1
②∵sin1=sin[（n+1）-n]=sin（n+1）cosn-cos（n+1）sinn
∴

1

coscncoscn+1

=

sin1

sin1cosncos(n+1)

=

sin(n+1)cosn-cos(n+1)sinn

sin1cosncos(n+1)

=

1

sin1

[tan(n+1)-tann]
故所求数列的前n项和为：
A_n=

1

sin1

[（tan2-tan1）+（tan3-tan2）+…+（tan（n+1）-tann）]
=

1

sin1

[tan（n+1）-tann]

点评：本题为数列的综合应用，涉及累加法，错位相减法，裂项相消法，属中档题．