Question

已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(－1，0)和B(0，8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：据题意，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，且x轴、y轴不是所求直线，又l过原点，因而可设l的方程为y＝kx(k≠0)．① 　　如图所示，设、分别是A、B关于l的对称点，则⊥l，直线的方程为y＝－(x＋1)．　② 　　联立①、②，解得与l的交点M的坐标为(－，－)，从而得点． 　同理． 　　将、的坐标分别代入C的方程y2＝2px(p＞0)中，解得 p＝及p＝， 　　∴＝，即k2－k－1＝0， 　　解得k1＝，k2＝． 　　∵当k＝时，＝＝－＜0，这与在C上矛盾，∴k＝． 　　将k＝代入p＝中，得p＝＋1， 　　∴所求直线l的方程是y＝x，抛物线C的方程为y2＝2(＋1)x． 　　分析：因抛物线的顶点、焦点位置确定，故可用待定系数法求直线和抛物线的方程，其中待定的系数值可根据对称的条件和性质来确定． 　　点评：点关于直线对称的两个性质及点在曲线上即点的坐标是曲线方程的解在求参数p、k的值中起了关键作用．本题还可运用抛物线的参数方程(t为参数)求解．