Question

（2012•张掖模拟）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）+f（1-x）=1，f(

x

5

)=

1

2

f(x)，且当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），则f(

2011

2012

)的值为（　　）

• A．

  63

  64

• B．

  31

  32

• C．

  15

  16

• D．

  7

  8

Answer 1

分析：根据定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）+f（1-x）=1，令x=1得f（1）=1，由f(

x

5

)=

1

2

f(x)，令x=1得f(

1

5

)=

1

2

f(1)=

1

2

，令x=

1

5

，可求出f(

1

25

)=

1

2

f(

1

5

) =

1

4

，不断迭代可得f(

1

3125

)=

1

32

，同理可得f(

1

1250

)=

1

32

，再利用当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），可得有f（

1

2012

）=

1

32

，利用f（x）+f（1-x）=1，及f(

2011

2012

)=1-f(

1

2012

)，即可求得结论．

解答：解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）+f（1-x）=1，令x=1得f（1）=1
由f(

x

5

)=

1

2

f(x)，令x=1得f(

1

5

)=

1

2

f(1)=

1

2

令x=

1

5

，可求出f(

1

25

)=

1

2

f(

1

5

) =

1

4

从而可得f(

1

3125

)=

1

32

①
∵f（x）+f（1-x）=1，令x=

1

2

可得f（

1

2

）+f（1-

1

2

）=1，∴f（

1

2

）=

1

2

同理可得f(

1

1250

)=

1

32

②
这样由①②式，有f(

1

3125

)=f(

1

1250

)=

1

32

∵

1

3125

＜

1

2012

＜

1

1250

，当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），
∴有f（

1

2012

）≥f(

1

3125

)=

1

32

，f（

1

2012

）≤f(

1

1250

)=

1

32

 
∴有f（

1

2012

）=

1

32

由f（x）+f（1-x）=1，f(

2011

2012

)=1-f(

1

2012

)=1-

1

32

=

31

32

故选B．

点评：本题考查抽象函数的性质，考查赋值法的运用，考查函数的单调性，解题的关键是正确赋值及使用夹逼法求值．