Question

（2013•闵行区一模）已知函数f(x)=

.

2sinx 3 (sinx-cosx) sinx+cosx cosx

.

；
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数y=f(x-

π

2

)，x∈[0，

π

2

]的值域．

Answer 1

分析：（1）先根据二阶行列式的定义表示出函数f（x）的解析式后化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据T=

2π

w

，可得答案．
（2）先化简函数y=f(x-

π

2

)，再根据x的范围求出2x-

2π

3

的范围，再由三角函数的性质可得函数y=f(x-

π

2

)，x∈[0，

π

2

]的值域．

解答：解：（1）f(x)=

.

2sinx 3 (sinx-cosx) sinx+cosx cosx

.

=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)…（3分）
所以函数f（x）的最小正周期为π…（3分）
（2）y=f(x-

π

2

)=2sin[2(x-

π

2

)+

π

3

]=2sin(2x-

2π

3

)…（2分）
∵x∈[0，

π

2

]，∴-

2π

3

≤2x-

2π

3

≤

π

3

，-1≤sin(2x-

2π

3

)≤

3

2

…（2分）
∴y∈[-2，

3

]．…（2分）
另解：y=f(x-

π

2

)=2sin[2(x-

π

2

)+

π

3

]=2sin(2x+

π

3

-π)=-2sin(2x+

π

3

)…（2分）
∵x∈[0，

π

2

]，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1…（2分）
∴-2≤-2sin(2x+

π

3

)≤

3

，即y∈[-2，

3

]．…（2分）

点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法．一般都是把函数先化简为y=Asin（wx+ρ）或y=Acos（wx+ρ）的形式再由三角函数的图象和性质可解题．