Question

已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数,求a的取值范围.

Answer 1

分析:本题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,考查综合运用数学知识解决问题的能力.

解:求函数f(x)的导数:

f′(x)=3ax²+6x-1.

(1)当f′(x)<0(x∈R)时,f(x)是减函数,

3ax²+6x-1<0(x∈R)a<0,

且Δ=36+12a<0a<-3.

所以,当a<-3时,由f′(x)<0,知f(x)(x∈R)是减函数.

(2)当a=-3时,f(x)=-3x³+3x²-x+1=-3(x-)³+,

由函数y=x³在R上的单调性,可知

当a=-3时,f(x)(x∈R)是减函数.

(3)当a>-3时,在R上存在一个区间,其上有f′(x)>0,

所以,当a>-3时,函数f(x)(x∈R)不是减函数.

综上,所求a的取值范围是(-∞,-3］.

点评：二次函数与x轴有相交、相切、相离三种位置关系,抛物线的开口方向由二次项的系数的正、负决定,位置关系由判别式决定.