Question

已知f(x)＝ax－ln(－x)，x∈(－e，0)，g(x)＝－，其中e是自然常数，a∈R．

(1)讨论a＝－1时，f(x)的单调性、极值；

(2)求证：在(1)的条件下，|f(x)|＞g(x)＋；

(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)＝－x－ln(－x)　∴(x)＝－1－＝－ 　　∴当－e≤x＜－1时，(x)＜0，此时f(x)为单调递减 　　当－1＜x＜0时，(x)＞0，此时f(x)为单调递增 　　∴f(x)的极小值为f(－1)＝1 　　(2)∵f(x)的极小值，即f(x)在[－e，0)的最小值为1 　　∴|f(x)|min＝1 　　令h(x)＝g(x)＋＝－＋ 　　又∵(x)＝，当－e≤x＜0时，(x)≤0 　　∴h(x)在[－e，0)上单调递减，∴h(x)max＝h(－e)＝＋＜＋＝1＝|f(x)|min 　　∴当x∈[－e，0)时，|f(x)|＞g(x)＋ 　　(3)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln(－x)有最小值3，x∈[－e，0)，(x)＝a－ 　　①当a≥－时，由于x∈[－e，0)，则(x)＝a－≥0，∴函数f(x)是[－e，0)上的增函数∴f(x)min＝f(－e)＝－ae－1＝3解得a＝－＜－(舍去) 　　②当a＜－时，则当－e≤x＜时，(x)＝a－＜0，此时f(x)是减函数 　　当＜x＜0时，(x)＝a－＞0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是增函数 　　∴f(x)min＝f()＝1－ln(－)＝3解得a＝－e2．