Question

已知a＞0，b∈R，函数f(x)＝4ax³－2bx－a＋b．

(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，

(ⅰ)函数f(x)的最大值为|2a－b|﹢a；

(ⅱ)f(x)＋|2a－b|﹢a≥0；

(Ⅱ)若－1≤f(x)≤1对x∈[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)． 　　解析：本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力． 　　(Ⅰ)(ⅰ)． 　　当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立， 　　此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a； 　　当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断， 　　此时的最大值为： 　　＝|2a－b|﹢a； 　　综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a； 　　(ⅱ)要证＋|2a－b|﹢a≥0，即证＝－≤|2a－b|﹢a． 　　亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a， 　　∵，∴令． 　　当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立， 　　此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a； 　　当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断， 　　 　　 　　≤|2a－b|﹢a； 　　综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a． 　　即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a， 　　且函数在0≤x≤1上的最小值比－(|2a－b|﹢a)要大． 　　∵－1≤≤1对x[0，1]恒成立， 　　∴|2a－b|﹢a≤1． 　　取b为纵轴，a为横轴． 　　则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b． 　　作图如下： 　　由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有． 　　∴所求a＋b的取值范围为：．