Question

（本小题满分14分）

   （1）如图，对于任一给定的四面体,找出依次排列的四个相互平行的平面，，，，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

   （2）给定依次排列的四个相互平行的平面，，，，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体的四个顶点满足：，求该正四面体的体积．

Answer 1

（本小题满分14分）

   （1）如图所示，取A₁A₄的三等分点P₂，P₃，A₁A₃的中点M，

A₂A₄的中点N，过三点A₂，P₂，M作平面，过三点A₃，

P₃，N作平面，因为A₂P₂//NP₃，A₃P₃//MP₂，所以平面

//平面，再过点A₁，A₄分别作平面与平面

平行，那么四个平面依次相互平行，由线段

A₁A₄被平行平面截得的线段相等知，其中

每相邻两个平面间的距离相等，故为所求平面。

   （2）解法一：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A₁A₂A₃A₄就是满足题意的正四面体，设正四面体的棱长为a，以△A₂A₃A₄的中心O为坐标原点，以直线A₄O为y轴，直线OA₁为z轴建立如图的右手直角坐标系，

令P₂，P₃为A₁A₄的三等分点，N为A₂A₄的中点，有

设平面A₃P₃N的法向量

有

所以，

因为相邻平面之间的距离为1，所以点A₄到平面A₃P₃N的距离

解得，由此可得，边长为的正四面体A₁A₂A₃A₄满足条件。

所以所求正四面体的体积

   

    解法二：如图，现将此正四面体A₁A₂A₃A₄置于一个正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，（或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角三棱锥，得到一个正方体），E₁，F₁分别是A₁B₁，C₁D₁的中点，EE₁D₁D和BB₁F₁F是两个平行平面，若其距离为1，则四面体A₁A₂A₃A₄即为满足条件的正四面体。右图是正方体的上底面，现设正方体的棱长为a，若A₁M=MN=1，则有

   

    据A₁D₁×A₁E₁=A₁M×D₁E₁，得，

    于是正四面体的棱长

    其体积

   （即等于一个棱长为a的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积）