Question

已知函数f(x)=ax³-3x²+1-,

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若曲线y=f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.

Answer 1

思路分析：导函数的几何意义在讨论函数的基本性质方面有很大的作用.对参数a进行分类讨论是本题的易错点，解题时应当理清思路，避免错误.

解：（1）由题设知 a≠0,f′(x)=3ax²-6x=3ax(x-).

令f′(x)=0得x₁=0,x₂=.

当a＞0时，若x∈（-∞，0），则f′（x）＞0，所以f（x）在区间（-∞，）上是增函数；若 x∈（0，），则f′（x）＜0，所以f（x）在区间（0，）上是减函数；若x∈（，+∞），则f′（x）＞0，所以 f（x）在区间（，+∞）上是增函数；

当a＜0时，若x∈（-∞，），则f′（x）＜0，所以f′（x）在区间（-∞，）上是减函数；若 x∈（0，)，则f′（x）＜0，所以f（x） 在区间（0，）上是减函数；若x∈（，0），则f′（x）＞0，所以f（x）在区间（，0）上是增函数；若x∈（0，+∞），则f′(x)＜0，所以f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.

（2）由（1）的讨论及题设知，曲线y=f(x)上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数y=f(x)在x=0,x=处分别是取得极值f(0)=1-，f（）=+1.

因为线段AB与x轴有公共点，所以f（0）·f（）≤0.

即（+1）（1-）≤0.所以≤0.

故（a+1）（a-3）（a-4）≤0，且a≠0.

解得  -1≤a＜0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].