Question

已知函数f(t)=log₂t,t∈［，8］.

（1）求f(t)的值域G；

（2）若对于G内的所有实数x,不等式-x²+2mx-m²+2m≤1恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

解析：（1）∵f(t)=log₂t在t∈［，8］上是单调递增的,

∴log₂≤log₂t≤log₂8,

即≤f(t)≤3.

∴f(t)的值域G为［，3］.

（2）由题知-x²+2mx-m²+2m≤1在x∈［，3］上恒成立x²-2mx+m²-2m+1≥0在x∈［,3］上恒成立.

令g(x)=x²-2mx+m²-2m+1,x∈［，3］.

只需g_min(x)≥0即可.

而g(x)=(x-m)²-2m+1,x∈［，3］.

①当m≤时,g_min(x)=g()=-3m+m²+1≥0.

∴4m²-12m+5≥0.

解得m≥或m≤.

∴m≤.

②当＜m＜3时，g_min(x)=g(m)=-2m+1≥0，解得m≤.

这与＜m＜3矛盾.

③当m≥3时,g_min(x)=g(3)=10+m²-8m≥0，

解得m≥4+或m≤4-.

而m≥3,∴m≥4+.

综上，实数m的取值范围是(-∞,)∪［4+，+∞).