Question

1．设a＜0，函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（a-1）x-aln x．
（1）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为-1，求a的值；
（2）当-1＜a＜0时，求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义，求a的值；
（2）当-1＜a＜0时，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值点．

解答 解：（1）$f'（x）=x+a-1-\frac{a}{x}$…（2分）
∵f'（2）=-1，∴$2+a-1-\frac{a}{2}=-1$，∴a=-4…（2分）
（2）由（1）知，$f'（x）=x+a-1-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}+（a-1）x-a}}{x}=\frac{（x+a）•（x-1）}{x}$…（1分）
定义域为（0，+∞）∵-1＜a＜0，∴0＜-a＜1…（1分）
令f'（x）=0则 x=-a或x=1…（1分）

x	（0，-a）	-a	（-a，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

…（3分）∴f（x）的极大值点为x=-a，极小值点为x=1…（2分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性问题．