Question

已知α，β∈（0，π），tanα=-

4

3

，cos（β+α）=

5

13

．
（1）求2sin²α-sinαcosα-3cos²α的值；
（2）求sin（2α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）把所求表达式的分母“1”，利用平方关系式替换，然后分式同除cos²α，代入tanα的值，即可解出结果．
（2）根据角的范围，求出sinα，cosα，sin（α+β）的值，通过2α+β=α+（α+β），利用两角和的正弦函数展开，代入数据求出结果．

解答：解：（1）因为tanα=-

4

3

，
所以2sin²α-sinαcosα-3cos²α
=

2sin2α-sinαcosα-3cos2α

sin2α +cos2α

=

2tan2α-tanα-3

tan2α +1

=

2(- 4 3 )2+ 4 3 -3

(- 4 3 )2 +1

=

17

25

．
（2）因为α，β∈（0，π）tanα=-

4

3

，cos（β+α）=

5

13

．
所以α是钝角，β+α∈（

3π

2

，2π），
所以sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，sin（β+α）=-

1-( 5 13 )2

=-

12

13

，
sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]
=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）
=

4

5

×

5

13

+(-

3

5

) ×(-

12

13

)=

56

65

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的表达式的求值与化简的基本运算，注意（1）利用“1”的代换是解题的关键，（2）注意角的转化以及角的范围对应的三角函数值的范围，否则易出错．