Question

（2012•怀柔区二模）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，a=

5

，b=3，sinC=2sinA
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求sin(2A-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理列出关系式，将a及sinC=2sinA变形后代人，即可求出c的值；
（Ⅱ）在三角形ABC中，利用余弦定理表示出cosA，将三边长代人求出cosA的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简所求式子，将sin2A与cos2A的值代人即可求出值．

解答：解：（I）在△ABC中，根据正弦定理

c

sinC

=

a

sinA

，a=

5

，b=3，sinC=2sinA，
∴c=

asinC

sinA

=2a=2

5

；
（II）在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=

c2+b2-a2

2bc

=

20+9-5

12 5

=

2

5

=

2 5

5

，
∴sinA=

1-cos2A

=

5

5

，
∴sin2A=2sinAcosA=

4

5

，cos2A=cos²A-sin²A=

3

5

，
则sin（2A-

π

4

）=sin2Acos

π

4

-cos2Asin

π

4

=

2

10

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．