Question

已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD．

求证：是平面PDC的法向量．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：取PD的中点E，连结AE、EN， 　　∵N为PC中点，∴EN∥CD且EN＝CD． 　　又∵M为AB中点，四边形ABCD为正方形， 　　∴AM∥CD且AM＝CD． 　　∴AMEN．∴四边形AMNE为平行四边形． 　　∴AE∥MN． 　　∵PA＝AD，∴AE⊥PD． 　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．又∵CD⊥AD， 　　∴CD⊥平面PAD．∴CD⊥AE． 　　∴AE⊥平面PCD．∴MN⊥平面PCD， 　　即⊥平面PCD， 　　∴为平面PCD的法向量． 　　证法二：如图，建立空间直角坐标系，设PA＝1． 　　则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，0，0)， 　　∴＝(0，1，0)，＝(1，0，1)，N(，，)，M(0，，0)，＝(，0，)． 　　∴·＝0，·＝0． 　　又∵DP∩DC＝D，∴⊥平面PDC． 　　∴为平面PCD的法向量．

提示：

判定是平面PDC的法向量，只需证明⊥平面PDC．