Question

已知数列{a_n}的通项公式是an=

2

sin(

nπ

2

+

π

4

)．设其前n项和为S_n，则S₁₂₌

 

．

Answer 1

分析：根据三角函数的性质求出三角函数对应的周期，从而得到数列是周期数列，然后利用数列的周期性进行求和即可．

解答：解：∵an=

2

sin(

nπ

2

+

π

4

)．
∴对应的数列的周期T=

2π

π 2

=4，即数列{a_n}是周期为4的周期数列，
∴S₁₂=3S₄，
∵an=

2

sin(

nπ

2

+

π

4

)，
∴a1=

2

sin?(

π

2

+

π

4

)=

2

cos?

π

4

，a2=

2

sin?(π+

π

4

)=-

2

sin?

π

4

，a3=

2

sin?(

3π

2

+

π

4

)=-

2

cos?

π

4

，a4=

2

sin?(2π+

π

4

)=

2

sin?

π

4

，
∴S₄=0，
即S₁₂=3S₄=0，
故答案为：0．

点评：本题主要考查数列和的计算，利用数列的周期性是解决本题的关键．