Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2(n=1，2，3，…)，数列{b_n}中，b₁=1，点P(b_n,b_n+1)在直线x-y+2=0上．

(Ⅰ)求数列{a_n},{b_n}的通项a_n和b_n；

(Ⅱ)记S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求满足S_n＜167的最大正整数n．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，

又S_n-S_n-1=a_n(n≥2，n∈N^*)

∴a_n=2a_n-2a_n-1，∵a_n≠0

∴=2(n≥2，n∈N^*)，即数列{a_n}是等比数列．

∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2．∴a_n=2ⁿ

∵点P(b_n，b_n+1)在直线x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0

∴b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，

又b₁=1，∴b_n=2n-1

(Ⅱ)S_n=a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+…+(2n-1)2ⁿ，

∴2S_n=1×2²+3×2³+…+(2n-3)2ⁿ+(2n-1)2ⁿ⁺¹

因此：

-S_n=1×2+(2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ)-(2n-1)2ⁿ⁺¹

即：-S_n=1×2+(2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹)-(2n-1)2ⁿ⁺¹

∴S_n=(2n-3)2ⁿ⁺²+6(10分)

∵S_n＜167，即：(2n-3)·2ⁿ⁺¹+6＜167，

于是(2n-3)·2ⁿ⁺¹＜161

又由于当n=4时(2n-3)·2ⁿ⁺¹=(2×4-3)·2⁵=160，

当n=5时(2n-3)·2ⁿ⁺¹=(2×5-3)·2⁶=448，故满足条件S_n＜167的最大正整数n为4