Question

设a为实数，函数f(x)=x²+|x-a|+1 x∈R,

(Ⅰ)讨论f(x)的奇偶性；

(Ⅱ)求f(x)的最小值.

Answer 1

解析：(Ⅰ)当a=0时，f(-x)=x²+|x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数；当a≠0时，f(a)=a²+1,f(-a)=a²+2｜a｜+1,f(-a)≠f(a),且f(-a)≠-f(a),此时函数f(x)无奇偶性.

(Ⅱ)f(x)=

    当x≤a时，f(x)=(x-)²+a+.

    若a≤,f(x)在(-∞,a]上单调递减从而f(x)在(-∞,a)上的最小值为f(a)=a²+1;

    若a＞,f(x)_min=f()=a+,且f()≤f(a).

    当x≥a时,f(x)=(x+)²-a+,

    若a≤-,f(x)_min=f(-)=-a+,且f(-)≤f(a);

    若a＞-,f(x)_min=f(a)=a²+1.

    综上a≤-时，f(x)_min=-a;

-＜a≤时，f(x)_min=a²+1;

a＞时，f(x)_min=a+.