Question

（本小题满分12分）

 设函数

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，设的最小值为恒成立，求实数t的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）当时，，

所以函数的减区间为，无增区间；

当时，，

若，由得，由得，

所以函数的减区间为，增区间为；

若，此时，所以，

所以函数的减区间为，无增区间；

综上，当时，函数的减区间为，无增区间，

当时，函数的减区间为，增区间为．

（Ⅱ）为所求．

【解析】(I)由,然后讨论a=0,a>0.-1<a<0.a<-1.a=-1等几种情况.

(II) 由（Ⅰ）得，， 然后解本题的关键是根据，可得，然后

令，转化为不等式恒成立问题解决.根据导数进一步确定h(x)的最大值即可.

（Ⅰ）解：，                ┄┄┄┄┄┄2分

当时，，

所以函数的减区间为，无增区间；

当时，，

若，由得，由得，

所以函数的减区间为，增区间为；

若，此时，所以，

所以函数的减区间为，无增区间；

综上，当时，函数的减区间为，无增区间，

当时，函数的减区间为，增区间为．             …………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，， 

因为，所以，………8分

令，则恒成立，

由于，

当时，，故函数在上是减函数，

所以成立；                                           ………10分

当时，若得，

故函数在上是增函数，

即对，，与题意不符；

综上，为所求．                                                ………12分