Question

(19)如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.

(Ⅰ)设E是DC的中点，求证：D₁E∥平面A₁BD；

(Ⅱ)求二面角A₁-BD-C₁的余弦值.

Answer 1

解法一：

(Ⅰ)连结BE，则四边形DABE为正方形，

∴BE=AD=A₁D₁，且BE∥AD∥A₁D₁，

∴四边形A₁D₁EB为平行四边形.

∴D₁E∥A₁B.

又D₁E平面A₁BD，A₁B平面A₁BD，

∴D₁E∥平面A₁BD.

(Ⅱ)以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA=1，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C₁(0，2，2)，A₁(1，0，2)，

∴=(1，0，2)  =(1，1，0).

设n=(x，y，z)为平面A₁BD的一个法向量

由n⊥，n⊥

得

取z=1，则n=(-2，2，1)

又=(0，2，2)，=(1，1，0)，

设m=(x₁，y₁，z₁)为平面C₁BD的一个法向量，

由m⊥，m⊥

得

取z₁=1，则m=(1，-1，1).

设m与n的夹角为α,二面角A₁-BD-C₁为θ，显然θ为锐角.

∴cosα=.

∴cosθ=.

即所求二面角A₁-BD-C₁的余弦为.

解法二：

(Ⅰ)以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设DA=a，由题意知：

D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，2a，0)，C₁(0，2a，2a)，A₁(a，0，2a)，D₁(0，0，2a)，E(0，a，0)，

∴=(0，a，-2a)，=(a，0，2a)，=(a，a，0)

又(0，a，-2a)=(a，a，0)-(a，0，2a)，

∴，

∵DA₁，DB平面A₁BD，D₁E平面A₁BD.

∴D₁E∥平面A₁BD.

(Ⅱ)取DB的中点F，DC₁的中点M，连结A₁F，FM，

由(Ⅰ)及题意得知：

F(，，0)，M(0，a，a)，

∴.

=(，，2a)·(a，a，0)=0，

=(，，a)·(a，a，0)=0.

∴FA₁⊥DB，FM⊥DB.

∴∠A₁FM为所求二面角的平面角.

∴cos∠A₁FM===.

所以二面角A₁-BD-C₁的余弦值为.

解法三：

(Ⅰ)证明：如解法一图，连结AD₁，AE，

设AD₁∩A₁D=G，AE∩BD=F，连结GF，

由题意知G是A₁D的中点，又E是CD的中点，

∴四边形ABED是平行四边形，故F是AE的中点，

∴在△AED₁中，GF∥D₁E.

又GF平面A₁BD，D₁E平面A₁BD.

∴D₁E∥平面A₁BD.

(Ⅱ)如图，在四边形ABCD中，设AD=α

∵AB=AD，AD⊥DC，AB∥DC

∴AD⊥AB.

故BD=a，由(Ⅰ)得

BC²=BE²+EC²=a²+a²=2a²，DC=2a，

∴∠DBC=90°，即BD⊥BC.

又BD⊥BB₁，

∴BD⊥平面BCC₁B₁，又BC₁平面BCC₁B₁，

∴BD⊥BC₁

取DC₁的中点M，连结A₁F，FM，

由题意知：∴FM∥BC₁，

∴FM⊥BD.

又A₁D=A₁B，∴A₁F⊥BD.

∴∠A₁FM为二面角A₁-BD-C₁的平面角.

连结A₁M，在△A₁FM中.

由题意知：

A₁F=a，FM=BC₁=a，

取D₁C₁的中点H，连结A₁H，HM，

在Rt△A₁HM中.

∵A₁H=a，HM=a，

∴A₁M=.

∴cos∠A₁FM===.

∴二面角A₁-BD-C₁的余弦值为.