Question

已知双曲线（）的一个焦点坐标是，一条渐近线方程是．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）若斜率为的直线与该双曲线相交于不同的两点、，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为，求实数的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为双曲线的方程为（）．由题设得

，解得，所以双曲线方程为．

（Ⅱ）设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组

　　将直线的方程代入双曲线方程得，

整理得．

此方程有两个不等实根，于是，且．

整理得．　由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足

，．

从而线段的垂直平分线方程为．

此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．

由题设可得．整理得，．

将上式代入得，整理得

，．

该不等式等价于　或　解得或．

所以的取值范围是．