Question

已知f（x）=.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）证明：f（x）是定义域内的增函数；

（3）求f（x）的值域.

Answer 1

（1）f（x）是奇函数（2）证明见解析（3）值域为(-1,1)

解析:

（1）解  ∵f（x）的定义域为R，

且f（-x）==-f（x），

∴f（x）是奇函数.

（2）证明  方法一  f（x）=.

令x₂＞x₁，则f（x₂）-f（x₁）

=(1-

当x₂＞x₁时，10-10＞0.又∵10+1＞0,10+1＞0，

故当x₂＞x₁时，f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）.所以f（x）是增函数.

方法二  考虑复合函数的增减性.

由f（x）=∵y₁=10^x为增函数，

∴y₂=10^2x+1为增函数，y₃=为减函数，

y₄=-为增函数，f(x)=1-为增函数.

∴f（x）=在定义域内是增函数.

（3）解  方法一  令y=f（x），由y=解得10^2x=.

∵10^2x＞0，∴-1＜y＜1.

即f（x）的值域为（-1，1）.

方法二  ∵f（x）=1-,∵10^2x＞0,∴10^2x+1＞1.

∴0＜＜2,∴-1＜1-＜1,即值域为(-1,1).