Question

已知函数f(x)=，x∈［1，+∞).

(1)当a=时，求函数的最小值；

(2)若对任意x∈［1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.

Answer 1

思路分析：(1)当a的值给定时，函数变为f(x)=x++2，它类似于函数f(x)=x+，所以可以利用函数的单调性来判断最值；(2)不等式恒成立转化为求函数的最值.

解：(1)当a=时，f(x)=x++2.

利用单调性的定义或图像可以证明f(x)在［1，+∞)上为增函数，

所以f(x)在［1，+∞)上的最小值为f(1)=.

(2)f(x)=x++2，x∈［1，+∞).

当a≥0时，函数f(x)的值恒为正.

当a＜0时，函数f(x)在［1，+∞)上为增函数，

故当x=1时，f(x)有最小值3+a，

于是当3+a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，

故此时-3＜a＜0.

综上可知，实数a的取值范围是(-3,0)∪［0,+∞)，即(-3,+∞).

说明：不等式f(x)＞m恒成立f(x)_min＞m；不等式f(x)＜m恒成立f(x)_max＜m.因此不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值问题.