Question

数列的首项为（），前项和为，且（）．设，（）．

（1）求数列的通项公式；

（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围；

（3）当时，试求三个正数，，的一组值，使得为等比数列，且，，成等差数列．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3），，．

【解析】

试题分析：（1）要求数列的通项公式，已知的是，这种条件的应用一般是把用代换得，然后两式相减就可把的递推关系转化为的递推关系，但要注意这个递推关系中一般不含有，必须另外说明与的关系；（2）时，，，那么不等式就是，请注意去绝对值符号的方法是两边平方，即等价于，这个二次的不等式对恒成立，变形为，然后我们分析此不等式发现，当时，不可能恒成立；时，不等式恒成立；当时，不等式变为，可分类（）分别求出的范围，最后取其交集即得；（3）考查同学们的计算能力，方法是一步步求出结论，当时，，，

，最后用分组求和法求出，

根据等比数列的通项公式的特征一定有，再加上三个正数，，成等差数列，可求出，，，这里考的就是计算，小心计算．

试题解析：（1）因为  ①

当时，  ②，

①—②得，（），                      （2分）

又由，得，                     （1分）

所以，是首项为，公比为的等比数列，所以（）．  （1分）

（2）当时，，，，              （1分）

由，得，  （*）     （1分）

当时，时，（*）不成立；

当时，（*）等价于  （**）

时，（**）成立．

时，有，即恒成立，所以．

时，有，．时，有，．    （3分）

综上，的取值范围是．                     （1分）

（3）当时，，，    （1分）

，    （2分）

所以，当时，数列是等比数列，所以    （2分）

又因为，，成等差数列，所以，即，

解得．                              （1分）

从而，，．                      （1分）

所以，当，，时，数列为等比数列．  （1分）

考点：(1)等比数列的定义；（2）数列与不等式恒成立问题；（3）分组求和，等比数列的通项公式．