Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=1，且对于任意n∈N₊都有na_n+1=2S_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

4an+1

an2an+22

，且数列{b_n}的前n项之和为T_n，求证：Tn＜

5

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）法一：由na_n+1=2S_n，得当n≥2时，（n-1）a_n=2S_n-1，所以na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，故na_n+1=（n+1）a_n，由此能求出a_n．
法二：由na_n+1=2S_n及a_n+1=S_n+1-S_n，得nS_n+1=（n+2）S_n，故

Sn+1

Sn

=

n+2

n

，由此能求出a_n．
（Ⅱ）依题意得bn=

4an+1

an2an+22

=

4n+4

n2(n+2)2

=

1

n2

-

1

(n+2)2

，由此能够证明Tn＜

5

4

．

解答：解：（Ⅰ）解法一：由na_n+1=2S_n①
得当n≥2时，（n-1）a_n=2S_n-1②，
由①-②可得，na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
所以na_n+1=（n+1）a_n，
即当n≥2时，

an+1

an

=

n+1

n

，
所以

a3

a2

=

3

2

，

a4

a3

=

4

3

，

a5

a4

=

5

4

，…，

an

an-1

=

n

n-1

，
将上面各式两边分别相乘得，

an

a2

=

n

2

，
即an=

n

2

•a2（n≥3），
又a₂=2S₁=2a₁=2，所以a_n=n（n≥3），
此结果也满足a₁，a₂，
故a_n=n对任意n∈N₊都成立．…（7分）
解法二：由na_n+1=2S_n及a_n+1=S_n+1-S_n，
得nS_n+1=（n+2）S_n，
即

Sn+1

Sn

=

n+2

n

，
∴当n≥2时，Sn=S1•

S2

S1

•

S3

S2

•…•

Sn

Sn-1

=1×

3

1

×

4

2

×

5

3

×…×

n+1

n-1

=

n(n+1)

2

（此式也适合S₁），
∴对任意正整数n均有Sn=

n(n+1)

2

，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（此式也适合a₁），
故a_n=n．…（7分）
（Ⅱ）依题意可得bn=

4an+1

an2an+22

=

4n+4

n2(n+2)2

=

1

n2

-

1

(n+2)2

Tn= 1 12 - 1 32 + 1 22 - 1 42 + 1 32 - 1 52 +…+ 1 n2 - 1 (n+2)2 =1+ 1 4 - 1 (n+1)2 - 1 (n+2)2 = 5 4 - (n+1)2+(n+2)2 (n+1)2(n+2)2 ＜ 5 4

∴Tn＜

5

4

．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法和不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．