Question

AB是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K_AB•K_OM的值为（　　）

• A、e-1
• B、1-e
• C、e²-1
• D、1-e²

Answer 1

分析：设出弦AB所在的直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂，的表达式，根据直线方程求得y₁+y₂的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入k_AB•k_OM中求得结果．

解答：解：设直线为：y=kx+c
联立椭圆和直线

y=kx+c x2 a2 + y2 b2 =1

消去y得
b²x²+a²（kx+c）²-a²b²=0，即 （b²+k²a²）x²+2a²kcx+a²（c²-b²）=0
所以：x₁+x₂=-

2a 2kc

b2+k2a2

所以，M点的横坐标为：M_x=

1

2

（x₁+x₂）=-

a 2kc

b2+k2a2

又：y₁=kx₁+c
y₂=kx₂+c
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2c=

2b2c

b2+k2a2

所以，点M的纵坐标M_y=

1

2

（y₁+y₂）=

b2c

b2+k2a2

所以：Kom=

My

Mx

=

b2c b2+k2a2

a 2kc b2+k2a2

=-

b．2

a2k

所以：
k_AB•k_OM=k×（-

b．2

a2k

）=-

b．2

a2

=e²-1

点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便．