Question

在直角坐标系xOy中
（1）以原点为圆心的圆O与直线x-

3

y=4相切．求圆O的方程；
（2）从点A（4，4）引圆的切线，切点为B，求切线长|AB|的值；
（3）P（x，y）是圆O上任意一点，求 x-2y的取值范围．

Answer 1

（1）设所求的圆的方程为：x²+y²=r²
∵直线x-

3

y=4与圆相切
圆心（0，0）到直线x-

3

y=4的距离d=

|-4|

1+(- 3 )2

=2=r
所求的圆的方程为：x²+y²=4．
（2）从点A（4，4）引圆的切线，所以|AO|=

(4-0)2+(4-0)2

=4

2

，圆的半径为：2，
切点为B，切线长|AB|=

(4 2 )2-22

=

28

=2

7

．
（3）圆的方程为：x^₂+y^₂=4，设圆上的任意点为（2cosα，2sinα），α∈R，
所以x-2y=2cosα-4sinα=2

5

cos（α+θ），tanθ=

1

2

，
cos（α+θ）∈[-1，1]．
所以2

5

cos（α+θ）∈[-2

5

，2

5

]．
x-2y的取值范围：[-2

5

，2

5

]．