Question

已知函数f（x）=

x2+2x+a

x

（1）当a=2，x∈[2，+∞），时，证明函数f（x）的单调性．
（2）当a＞0时，若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求此时a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数单调性的定义说明，设x₁，x₂∈[2，+∞），x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，即可得到函数的单调性；
（2）当a＞0时，由函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，可得x₁•x₂-a＞0恒成立，进而得到a的取值范围

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=

x2+2x+2

x

=x+

2

x

+2
任取x₁，x₂∈[2，+∞），x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞2
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

2

x1

+2）-（x₂+

2

x2

+2）=（x₁-x₂）•

x1•x2-2

x1•x2

∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在[2，+∞）上为增函数  …（6分）
（2）任取x₁，x₂∈[1，+∞），x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞1
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

a

x1

+2）-（x₂+

a

x2

+2）=（x₁-x₂）•

x1•x2-a

x1•x2

∵函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0恒成立，
故x₁•x₂-a＞0恒成立，
∴故a≤1 …（6分）

点评：本题主要考查利考查了利用导数研究函数的单调性，以及用函数的值域解决不等式恒成立的条件，属于中档题．