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    已知平面内两定点F1(0，-
    		5
    )、F2(0，
    		5
    )    ，动点P满足条件：|
    PF1
    |-|
    PF2
    |=4    ，设点P的轨迹是曲线E，O为坐标原点．
    （I）求曲线E的方程；
    （II）若直线y=k（x+1）与曲线E相交于两不同点Q、R，求
    OQ
    •
    OR
    的取值范围；
    （III）（文科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若
    AP
    =λ
    PB
    (λ∈[
    1
    2
    ，3])    ，记xA、xB分别为A、B两点的横坐标，求|xA•xB|的最小值．
    （理科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若
    AP
    =λ
    PB
    (λ∈[
    1
    2
    ，3])    ，求△AOB面积的最大值．
    分析：（I）由题意，可知动点P的轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支，其中c=
    		5
    ，2a=4，由此能求出曲线E的方程．
    （II）设Q（x1，y1），R（x2，y2），（y1，y2＞0），由
    y2
    4
    -x2=1
    y=k(x+1)
    ，得(1-
    4
    k2
    )y2+
    8
    k
    y-8=0    ，当1-
    4
    k2
    =0    ，不符合题意，故1-
    4
    k2
    ≠0    ．由此入手能够求出求
    OQ
    •
    OR
    的取值范围．
    （III）（文科做）由曲线E的方程是
    y2
    4
    -x2=1(y≥2)    ，知双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．由
    AP
    =λ
    PB
    ，且λ＞0，知点A，B均在x轴上方，设A（xA，2xA），B（xB，-2xB），由
    AP
    =λ
    PB
    ，得P点的坐标为（
    xA+λxb
    1+λ
    ，
    2(xA-λxB)
    1+λ
    ），将P点坐标代入
    y2
    4
    -x2=1    中，得xA•xB=
    (1+λ)2
    -4λ
    =-
    1
    4
    (λ+
    1
    λ
    +2)    ．由此能求出|xA•xB|的最小值．
    （理科做））由曲线E的方程是
    y2
    4
    -x2=1(y≥2)    ，知双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．由
    AP
    =λ
    PB
    ，且λ＞0，知点A，B均在x轴上方，设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．由
    AP
    =λ
    PB
    ，得点P的坐标为（
    m-λn
    1+λ
    ，
    2(m+λn)
    1+λ
    ）．将P的从标代入
    y2
    4
    -x2=1    中，得mn=
    (1+λ)2
    4λ
    ．设∠AOB=2θ，由S△AOB=
    1
    2
    |OA|•|OB|•sin2θ    ，由此能求出△ABC面积的最大值．
    解答：解：（I）由题意，可知动点P的轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支，
    其中c=
    		5
    ，2a=4，
    ∴b=1，
    ∴曲线E的方程是
    y2
    4
    -x2=1(y≥2)    ．
    （II）设Q（x1，y1），R（x2，y2），（y1，y2＞0），
    由
    y2
    4
    -x2=1
    y=k(x+1)
    ，得(1-
    4
    k2
    )y2+
    8
    k
    y-8=0    ，
    当1-
    4
    k2
    =0    ，即k=±2时，显然不符合题意，
    ∴1-
    4
    k2
    ≠0    ．
    ∴
    △=32-
    64
    k2
    ＞0
    y1+y1=
    8k
    4-k2
    ＞0
    y1•y2=
    8k2
    4-k2
    ＞0
    ，
    解得
    		2
    ＜k＜2    ．
    ∵x1•x2=
    y1•y2
    k2
    -
    y1+y2
    k
    +1=1    ，
    ∴
    OQ
    •
    OR
    =x1x2+y1y2
    =1+
    8k2
    4-k2

    =1-
    8(k2-4)+32
    k2-4

    =-7+
    32
    4-k2
    ．
    ∵
    		2
    ＜k＜2    ，
    ∴0＜4-k2＜2，
    ∴
    1
    4-k2
    ＞
    1
    2
    ，
    ∴
    OQ
    •
    OR
    ∈(9，+∞)    ．
    （III）（文科做）∵曲线E的方程是
    y2
    4
    -x2=1(y≥2)    ，
    ∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．
    ∵
    AP
    =λ
    PB
    ，且λ＞0，
    ∴点P必内分线段AB，
    故点A，B均在x轴上方，
    不妨设xA＞0，xB＜0，
    即A（xA，2xA），B（xB，-2xB），
    由
    AP
    =λ
    PB
    ，得P点的坐标为（
    xA+λxb
    1+λ
    ，
    2(xA-λxB)
    1+λ
    ），
    将P点坐标代入
    y2
    4
    -x2=1    中，
    化简，得xA•xB=
    (1+λ)2
    -4λ
    =-
    1
    4
    (λ+
    1
    λ
    +2)    ．
    ∴|xA•xB|=
    1
    4
    (λ+
    1
    λ
    +2)    ，λ∈[
    1
    3
    ，2]
    ∵λ+
    1
    λ
    ≥2    ，当且仅当λ=1时，等号成立．
    ∴|xA•xB|min=1．
    （理科做））∵曲线E的方程是
    y2
    4
    -x2=1(y≥2)    ，
    ∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．
    ∵
    AP
    =λ
    PB
    ，且λ＞0，
    ∴点P必内分线段AB，
    故点A，B均在x轴上方，
    设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．
    由
    AP
    =λ
    PB
    ，得点P的坐标为（
    m-λn
    1+λ
    ，
    2(m+λn)
    1+λ
    ）．
    将点P的从标代入
    y2
    4
    -x2=1    中，
    化简，得mn=
    (1+λ)2
    4λ
    ．
    设∠AOB=2θ，
    ∵tan(
    π
    2
    -θ)=2    ，
    ∴tanθ=
    1
    2
    ，sin2θ=
    4
    5
    ，
    ∵|OA|=
    		5
    m，|OB|=
    		5
    n    ，
    ∴S△AOB=
    1
    2
    |OA|•|OB|•sin2θ
    =2mn
    =
    1
    2
    (λ+
    1
    λ
    )+1    ．
    ∵λ∈[
    1
    3
    ，2]    ，
    ∴λ+
    1
    λ
    ∈[2，
    10
    3
    ]    ，
    ∴S△AOB∈ [2，
    8
    3
    ]    ．
    ∴△ABC面积的最大值为
    8
    3
    ．
    点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出以下5个命题：
    ①曲线x2-（y-1）2=1按
    a
    =(1，-2)    平移可得曲线（x+1）2-（y-3）2=1；
    ②设A、B为两个定点，n为常数，|
    PA
    |-|
    PB
    |=n    ，则动点P的轨迹为双曲线；
    ③若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，延长F1P到点M，使|F2P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
    ④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量
    AB
    与
    AP
    夹角为锐角θ，且满足 |
    PB
    | |
    AB
    | +
    PA
    •
    AB
    =0    ，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
    ⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
    其中所有真命题的序号为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知平面内一点P与两个定点F1(-
    		3
     ， 0)    和F2(
    		3
     ， 0)    的距离的差的绝对值为2．
    （Ⅰ）求点P的轨迹方程C；
    （Ⅱ）设过（0，-2）的直线l与曲线C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知平面内动点P到两定点F1，F2的距离的和等于常数2a，关于动点P的轨迹正确的说法是
     
    ．
    ①点P的轨迹一定是椭圆；                
    ②2a＞|F1F2|时，点P的轨迹是椭圆；
    ③2a=|F1F2|时，点P的轨迹是线段F1F2；  
    ④点P的轨迹一定存在；
    ⑤点P的轨迹不一定存在．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知平面内两定点F1(0，-
    		5
    )、F2(0，
    		5
    )    ，动点P满足条件：|
    PF1
    |-|
    PF2
    |=4    ，设点P的轨迹是曲线E，O为坐标原点．
    （I）求曲线E的方程；
    （II）若直线y=k（x+1）与曲线E相交于两不同点Q、R，求
    OQ
    •
    OR
    的取值范围；
    （III）（文科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若
    AP
    =λ
    PB
    (λ∈[
    1
    2
    ，3])    ，记xA、xB分别为A、B两点的横坐标，求|xA•xB|的最小值．
    （理科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若
    AP
    =λ
    PB
    (λ∈[
    1
    2
    ，3])    ，求△AOB面积的最大值．

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